пятница, 26 августа 2011
10:00

Trotil
Из неожиданного.

Как известно из стандартного курса матана, неопределённый интеграл от sin(x)/x не берётся в элементарных функциях. Еще некоторым рассказывают, что как определённый от 0 до бесконечности его можно вычислить разными способами (мы проходили его в курсе ТФКП) и такой интеграл будет равен Pi/2 и называется он интегралом Дирихле.

Если попробовать вычислить несколько интегралов, основанных на функции sinc(ax) = sin(ax)/ax, то можно увидеть любопытную закономерность:



Выражение постоянно равно Pi/2 вплоть до:



Но совершенно неожиданным является то, что после 1/13 найденная закономерность внезапно начинает рушиться. Вот, например, что будет, если последний член в произведении равен sinc(x/15):



Этот результат получен совсем недавно, в 2001 году. Вот здесь статья автора. Как следует из статьи, в таком интергале появляется придаток в виде (1/3 + 1/5 + ... 1/(2n + 1) - 1)^n*f(n), при этом если 1/3 + 1/5 + ... 1/(2n + 1) - 1 < 0, придаток игнорируется.

1/3 + 1/5 + ... + 1/13 < 1
и при этом
1/3 + 1/5 + ... + 1/15 > 1, поэтому появляется дополнительное слагаемое, которое делает результат отличным от Pi/2 на 11-том знаке после запятой.

URL
Комментарии
26.08.2011 в 10:46

Alma-Kpo
Free Your Mind
ух тыыыы... непонятно, но красиво)))
URL
26.08.2011 в 10:50

Когда я уже дорасту до университета и тоже в этом начну разбираться?
URL
26.08.2011 в 10:53

Mister_Zi_Cold
Отпусти и успокойся (с)
Прикольно) Как-то даже не пробовали это) Но видимо людям заняться совсем нечем вот и начинают)
Нене, я люблю математику, просто в ней порой столько "ради интереса")
URL
26.08.2011 в 11:20

Trotil
Alma-Kpo

А чего непонятного - вы интегралы проходили?
Численно определённый интеграл равен площади фигуры между кривой и осью X координат - вот и вся математика...
И вот до какого-то момента площадь одинакова, потом бац... Закономерность рушится.

Есть много еще "гипотез". Например:

Пусть f(x) = x^2 + x + 41

Вычислим F(0), f(1), f(2), ..., f(10) - все они будут простыми числами, получается ряд 41, 43, 47, 53, 61, 71. Вроде бы получили многочлен генерирующий простые числа, и в самом деле все f(0), f(1), ..., f(39) будут простыми, только при x=40 формула "споткнётся" и очевидно, почему:
f(x) = x^2 + x + a, f(a-1) = (a-1)^2 + (a-1) + a = a^2 - 2a + 1 + a - 1 + a = a^2 - составное число.

Этот многочлен называют многочленом Эйлера. В виду этой тривиальности, Эйлер и не думал, что многочлен f(x) генерирует простые числа, но его немало удивил тот факт, что при всех x=0..39 получаются простые числа.

Эйлер вообще один из моих любимых математиков. Я даже специально посещал его могилу в Петербурге. В комметариях к заметке avva рассказывается, что как-то он подметил, что многочлены вида x^n-1 разлагаются на множители с целыми коэффициентами. Он заметил, что если разложить на неприводимые, все ненулевые коэффициенты всех многочленов получаются 1 или -1. Например:



Неленивый Эйлер проверил гипотезу вплоть до n=100. Всё подтверждается, а доказать не выходит!

Эйлер умер, так и не узнав, что первое n, при котором гипотеза неверна, есть n=105 (появляется коэффициент -2).

Cktle.obq
Исходя из содержания статьи, боюсь, вычисление интегралов такого уровня - не университетский уровень, а выше. Я её мельком почитал, что-то понял, что-то нет.
URL
26.08.2011 в 11:22

Alma-Kpo
Free Your Mind
Trotil не, проходила то, проходила)) вспоминать лень и задумываться) Так сложилось, что я ушла в гуманитарии по работе и за ненадобностью, все эти знания где-то заархивировались в голове, доставать лень (надеюсь, все же они есть, а не исчезли))) но красиво =)
URL
28.02.2013 в 14:54

Гость
Trotil,
Не все так очевидно относительно многочлена Эйлера с числом 41. Его тайна мной разгадана. Скатерть Улама выше 41 не построить.
URL